Uniformization of varieties with log-canonical singularities
Uniformisation de variétés à singularités log-canoniques
Résumé
We study the problem of uniformizing quasi-projective varieties with logcanonical compactifications. More precisely, given a complex projective variety X with log-canonical singularities, we give criteria for X to be isomorphic to a Baily-Borel-Mok compactification of a ball quotient, asking on the one hand the equality case in a suitable Miyaoka-Yau (MY) inequality, and on the other hand some adequate assumptions on the singularities. We also give as a result of independent interest that log-resolutions of log-canonical singularities have their fibers connected by chains of special varieties in the sense of Campana; this is used in the proof to control the behaviour of the period map near the exceptional divisors of such resolutions. We also show that it is necessary to assume that the singularities are at least logcanonical: some examples of Deligne-Mostow-Deraux can be manipulated to provide examples of singular varieties satisfying the equality case in MY, while not being isomorphic to such Baily-Borel-Mok compactifications.
On étudie le problème de l'uniformisation des variétés quasi-projectives admettant des compactifications à singularités log-canoniques. Plus précisément, étant donnée une variété projective X à singularités log-canoniques, on donne un critère pour que X soit isomorphe à une compactification de Baily-Borel-Mok d'un quotient de la boule, en demandant d'une part l'égalité dans une certaine inégalité de Miyaoka-Yau (MY), et d'autre part une hypothèse adéquate sur les singularités. On donne aussi un résultat d'intérêt indépendant: les log-résolutions de singularités log-canoniques ont leur fibres connexes par chaînes de variétés spéciales dans le sens de Campana ; ceci est utilisé dans la preuve pour contrôler le comportement d'une application de périodes au voisinage des diviseurs exceptionnels d'une telle résolution. On montre aussi qu'il semble nécessaire de supposer que les singularités sont au pire log-canoniques: certains exemples de Deligne-Mostow-Deraux peuvent en effet être manipulés pour donner des exemples de variétés singulières satisfaisant le cas d'égalité dans MY, sans pour autant être des compactifications de Baily-Borel-Mok.
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